Question

7．已知{a_n}满足a_n+1=a_n+2n，且a₁=33，则$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 利用“累加求和”方法可得a_n，再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：{a_n}满足a_n+1=a_n+2n，即a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+33
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+33
=n²-n+33．
则$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+33}{n}$=n+$\frac{33}{n}$-1，
令f（x）=$x+\frac{33}{x}$，（x≥1），则f′（x）=1-$\frac{33}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-33}{{x}^{2}}$，在x∈$[1，\sqrt{33}）$上单调递减；在x∈$（\sqrt{33}，+∞）$上单调递增．
f（5）=5+$\frac{33}{5}$=$\frac{58}{5}$，f（6）=6+$\frac{33}{6}$=$\frac{23}{2}$＜f（5）．
∴n=6时，f（x）取得最小值，因此$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为$\frac{23}{2}-1$=$\frac{21}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．