Question

14．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；
（II）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可

解答 解：（I）令f'（x）=lnx+1=0，得$x=\frac{1}{e}$．
①当$0＜t＜\frac{1}{e}$时，函数f（x）在$（t，\frac{1}{e}）$上单调递减，在$（\frac{1}{e}，t+2）$上单调递增，
此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；
②当$t≥\frac{1}{e}$时，函数f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为f（t）=tlnt；
（II）由题意得，f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一个根，
即$a=lnx+x+\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有且只有一个根．令$h（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，
则$h'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$，
易知g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以h_min（x）=h（1）=3，
由题意可知，若使y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h_min（x）=3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查数形结合的数学思想，综合性强．