Question

4．如图，四边形ABCD是梯形．四边形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE=$\frac{1}{2}$CD，M是线段AE上的动点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．连结CE，交DF于N，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，过点M作MG⊥AD于G，过G作GH⊥l于H，连结MH，由已知条件推导出∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．
证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC不包含于平面DMF，
∴AC∥平面DMF．（4分）
（Ⅱ）过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，
∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，
过点M作MG⊥AD于G，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面ABCD，
过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，∴l⊥MH，
∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．（8分）
设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，MG=$\frac{1}{2}DE$=1（11分）
∴cos∠MHG=$\frac{GH}{MH}$=$\frac{2}{3}$，
∴所求二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．