Question

16．在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）依题意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，从而d=-3．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求出${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}$=3n-2+2^n-1，再分组求和即可

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差是d．
由已知（a₃+a₈）-（a₂+a₇）=2d=-6，
∴d=-3，
∴a₂+a₇=2a₁+7d=-23m，
得 a₁=-1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=-3n+2
（2）由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴${a_n}+{b_n}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}$=3n-2+2^n-1，
∴S_n=[1+4+7+…+（3n-2）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{{n（{3n-1}）}}{2}+{2^n}-1$，
=$\frac{{3{n^2}+n}}{2}$

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．