Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，若$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1（λ，μ∈R），则|$\overrightarrow{OC}$|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 计算∠AOB，根据三点共线原理可知C在直线AB上，故|$\overrightarrow{OC}$|的最小值为O到直线AB的距离．

解答 解：cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=60°，
又OA=OB=2，
∴O到直线AB的距离h=$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（λ-1）$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$=-μ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$=μ（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）=μ$\overrightarrow{AB}$，
∴C在直线AB上，
∴$|\overrightarrow{OC}|$的最小距离为$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．