Question

11．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x-[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a_n}满足：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，则a₂₀₁₇=$3024+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，经过计算可得：数列{a_2k-1}成等差数列，首项为$\sqrt{3}$，公差为3．即可得出．

解答 解：满足：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，
∴a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=3+$\sqrt{3}$=4+（$\sqrt{3}$-1），
a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₅=5+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=6+$\sqrt{3}$=7+（$\sqrt{3}$-1）．
a₆=7+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₇=8+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=9+$\sqrt{3}$=10+（$\sqrt{3}$-1），
…，
可得：数列{a_2k-1}成等差数列，首项为$\sqrt{3}$，公差为3．
则a₂₀₁₇=$\sqrt{3}$+3×（1009-1）=3024+$\sqrt{3}$．
故答案为：$3024+\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．