Question

1．设锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{b}{2}$是2asinAcosC与csin2A的等差中项．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的性质，正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得：sinB=2sinAsinB，结合sinB≠0．可求sinA=$\frac{1}{2}$．结合A为锐角，可得A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2$+\sqrt{3}$），进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{b}{2}$是2asinAcosC与csin2A的等差中项，
∴由正弦定理可得：b=2sinA（acosC+ccosA），
∴sinB=2sinA（sinAcosC+sinCcosA）
=2sinAsin（A+C）
=2sinAsinB，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0．
∴sinA=$\frac{1}{2}$．
又∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc$-\sqrt{3}bc$，
∴bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2$+\sqrt{3}$），当且仅当b=c=$\sqrt{6}$+2时，取等号．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×4×（2$+\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$．
即△ABC面积的最大值为2$+\sqrt{3}$（当且仅当b=c=$\sqrt{6}$+2时，等号成立）．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．