Question

6．在△ABC中，∠A的內角平分线交BC于D，用正弦定理证明：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$．

Answer 1

分析 在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，由sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC，即可得证．

解答 证明：在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$；
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$；
因为：sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC
可得：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，从而得证．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，考查了角平分线的性质，属于基本知识的考查．