Question

16．椭圆ax²+by²=1（a＞0，b＞0，且a≠b）与直线x+y-1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2$\sqrt{2}$，直线OC的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 作差，根据中点坐标公式．求得直线OC的斜率，求得b=$\sqrt{2}$a，利用韦达定理，弦长公式即可求得（$\frac{2b}{a+b}$）²-4•$\frac{b-1}{a+b}$=4，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$的解．
由ax₁²+by₁²=1，ax₂²+by₂²=1，两式相减，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，
∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{b}$，
即$\frac{2{y}_{c}}{2{x}_{c}}$=$\frac{a}{b}$，则$\frac{{y}_{c}}{{x}_{c}}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则b=$\sqrt{2}$a，①
再由方程组消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，x₁+x₂=$\frac{b-1}{a+b}$，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（$\frac{2b}{a+b}$）²-4•$\frac{b-1}{a+b}$=4．②
由①②解得a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故所求的椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}=1$，
椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合，其中设而不求，联立方程，韦达定理，是解答此类问题常用的方法，属于中档题．