Question

3．已知圆O：x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求弦AB的长；
（2）当弦AB被P₀平分时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．
（2）当弦AB被点P₀平分时，AB和OP垂直，故直线AB 的斜率为$\frac{1}{2}$，根据点斜式方程直线AB的方程．

解答 解：（1）当α=135°时，k_AB=-1，直线AB：y+2=-（x-1），即x+y+1=0
设AB中点为M，则OM⊥AB，且平分弦AB．
∵$|{OM}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|{AM}|=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{30}$．
（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，而k_OP=-2，
∴${k_{AB}}=\frac{1}{2}$．
∴弦AB所在直线的方程为：x-2y+5=0．

点评 本题考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心0（0，0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．