Question

18．已知不等式|x|+|x-3|＜x+6的解集为（m，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m=0，求证：x+y≥16xy．

Answer 1

分析 （1）根据x≤0，0＜x＜3，x≥3进行分类讨论，求出不等式|x|+|x-3|＜x+6的解集，由此能求出m，n．
（2）由x＞0，y＞0，9x+y=1，知$\frac{x+y}{16xy}$=$\frac{1}{16}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{16}$（$\frac{9x+y}{x}+\frac{9x+y}{y}$）=$\frac{1}{16}（\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}+10）$，由此利用作商法和基本不等式的性质能证明x+y≥16xy．

解答 解：（1）当x≤0时，-x-x+3＜x+6，即x＞-1，∴-1＜x≤0；
当0＜x＜3时，x+3-x＜x+6，即x＞-3，∴0＜x＜3；
当x≥3时，x+x-3＜x+6，即x＜9，∴3≤x＜9．
综上，
不等式|x|+|x-3|＜x+6的解集为（-1，9），
∴m=-1，n=9．
证明：（2）∵x＞0，y＞0，nx+y+m=0，m=-1，n=9，
∴9x+y=1，
∴$\frac{x+y}{16xy}$=$\frac{1}{16}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{16}$（$\frac{9x+y}{x}+\frac{9x+y}{y}$）
=$\frac{1}{16}（9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}+1）$=$\frac{1}{16}（\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}+10）$
≥$\frac{1}{16}（2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}+10）$=1，
∴x+y≥16xy．

点评 本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．