Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，左右焦点分别为F₁、F₂，圆x²+y²=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，Q为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点
（1）试探究$\frac{|MN|}{{|OQ{|^2}}}$的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
（2）记△QF₂M的面积为S₁，△OF₂N的面积为S₂，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：圆心到直线x+y+b=0的距离为1，椭圆C经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）（1）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），OQ的方程为x=my，则MN的方程为x=my+1．由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出$\frac{|MN|}{{|OQ{|^2}}}$的值为一个常数．
（2）△QF₂M的面积=△OF₂M的面积，从而S=S₁+S₂=S_△OMN，求出O到直线MN：x=my+1的距离，结合已知条件能求出S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线x+y+b=0的距离为1，即$\frac{b}{{\sqrt{2}}}=1$，所以$b=\sqrt{2}$，
又椭圆C经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{{3{b^2}}}=1$，得到$a=\sqrt{3}$，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）（1）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），OQ的方程为x=my，
则MN的方程为x=my+1．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y^2}=\frac{6}{{2{m^2}+3}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y_0}^2=\frac{6}{{2{m^2}+3}}.\end{array}\right.$
所以$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
所以${y_1}+{y_2}=-\frac{4m}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{2{m^2}+3}}$，$|MN|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_1}-{y_2}|$=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{{{（2{m^2}+3）}^2}}}+\frac{16}{{2{m^2}+3}}}$=$\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{1+{m^2}}}}{{2{m^2}+3}}=\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}$，
所以$\frac{|MN|}{{|OQ{|^2}}}=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}{{\frac{{6（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（2）∵MN∥OQ，∴△QF₂M的面积=△OF₂M的面积，∴S=S₁+S₂=S_△OMN，
∵O到直线MN：x=my+1的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，
∴$S=\frac{1}{2}|MN|•d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{3}（{m^2}+1）}}{{2{m^2}+3}}×\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{{m^2}+1}}}{{2{m^2}+3}}$，
令$\sqrt{{m^2}+1}=t$，则m²=t²-1（t≥1），$S=\frac{{2\sqrt{3}t}}{{2（{t^2}-1）+3}}=\frac{{2\sqrt{3}t}}{{2{t^2}+1}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{2t+\frac{1}{t}}}$，
令$g（t）=2t+\frac{1}{t}（t≥1）$，$g'（t）=2-\frac{1}{t^2}＞0$，
∴g（t）在[1，+∞）上为增函数，g（t）_min=g（1）=3，${S_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．