Question

15．已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=4，AB=2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，
①理科做：求二面角P-DE-A的正切值；
②文科做：求点E到平面PFD的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AF⊥DF，利用PA丄平面ABCD，可得PA⊥DF，利用线面垂直的判定定理，即可得出结论；
（2）过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=$\frac{1}{4}$AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=$\frac{1}{4}$AP，从而平面GEH∥平面PFD，即可得出结论；
（3）①理科做：过A作AQ⊥DE于Q，连结PQ，证明∠PQA为所求二面角的平面角，即可求二面角P-DE-A的正切值；
②文科做：由等体积可得点E到平面PFD的距离．

解答 解：（1）证明：连接AF，则AF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{2}$，
又AD=4，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD； …（4分）
（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH=$\frac{1}{4}$AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=$\frac{1}{4}$AP，
∴平面EHG∥平面PFD．
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=$\frac{1}{4}$AP的点G为所求．  …（8分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2
①理科 过A作AQ⊥DE于Q，连结PQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，
∴DE⊥平面PAQ，∴DE⊥平面PAQ，∴DE⊥AQ即∠PQA为所求二面角的平面角．…（10分）
在直角三角形AED中由等面积得AQ=$\frac{4×1}{\sqrt{16+1}}$  
∴tan∠PQA=$\frac{\sqrt{17}}{2}$…（12分）
②文科 由（Ⅰ）可知DF⊥平面PAF，∴△PDF为直角三角形.$PF=\sqrt{P{A^2}+A{F^2}}=2\sqrt{3}$，S_△DEF=3，
设点E到平面PFD的距离为h．则由等体积可得$3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}×h$，∴$h=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
即点E到平面PFD的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角、点面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．