Question

9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA=0，若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$b，则△ABC面积的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 12$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 利用二倍角公式和正弦定理化简asin2B+bsinA=0得B=$\frac{2π}{3}$，代入面积公式可得b=$\frac{ac}{4}$，根据余弦定理和基本不等式即可得出ac≥48，从而可得三角形的面积最小值．

解答 解：∵asin2B+bsinA=0，即2asinBcosB+bsinA=0，
由正弦定理得2abcosB+ab=0，∴cosB=-$\frac{1}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}b$，∴ac=4b．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a²+c²-b²=-ac，即a²+c²=b²-ac=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{16}$-ac，
又a²+c²≥2ac（当且仅当a=c时取等号）．
∴$\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{16}$-ac≥2ac，解得ac≥48，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≥12$\sqrt{3}$（当且仅当a=c时取等号）．
故选B．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，三角形的面积公式，基本不等式的应用，属于中档题．