Question

14．关于x的方程$\sqrt{3}sin2x+cos2x=k+1$在$[0，\frac{π}{2}]$内有实数根，则k的取值范是（　　）

• A． （-3，1）
• B． （0，2）
• C． [0，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 先利用两角和公式对方程化简整理，进而根据x的范围确定k的范围．

解答 解：∵k=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）-1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴-2≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1≤1，即k∈[-2，1]．
故选：D．

点评 本题考查两角和的正弦函数，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．