Question

19．过点P（a，-2）作抛物线C：x²=4y的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明：x₁x₂+y₁y₂为定值．

Answer 1

分析 方法一：求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得x₁²-2ax₁-8，同理可知x₂²-2ax₂-8=0．则x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两个根，则由韦达定理求得x₁x₂，y₁y₂的值，即可求证x₁x₂+y₁y₂为定值；
方法二：设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k₁k₂=-2，分别求得切线方程，代入即可求证x₁x₂+y₁y₂为定值．

解答 证明：方法一：由x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，求导y′=$\frac{1}{2}$x．
则直线PA的斜率为$\frac{1}{2}$x₁．
由点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）在抛物线C上，所以y=$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{4}$x₂²．
∴直线PA的方程为y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）．
∵点P（a，-2）在直线PA上，
∴-2-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（a-x₁），即x₁²-2ax₁-8=0．
同理，x₂²-2ax₂-8=0．
∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的两个根．
∴x₁x₂=-8．…（4分）
又y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²×$\frac{1}{4}$x₂²=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4为定值．
方法二：设过点P（a，-2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x-a），
$\left\{\begin{array}{l}{y+2=k（x-a）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx+4ka+8=0，
由△=16k²-4（4ak+8）=0，化简得k²-ak-2=0．
∴k₁k₂=-2．…（3分）
由x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，求导y′=$\frac{1}{2}$x．
则直线PA的斜率为k₁=$\frac{1}{2}$x₁．，直线PB的斜率为k₂=$\frac{1}{2}$x₂．
∴$\frac{1}{4}$x₁x₂=-2，即x₁x₂=-8．…（4分）
又y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²×$\frac{1}{4}$x₂²=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4为定值．
∴x₁x₂+y₁y₂为定值-4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．