Question

12．已知球的直径PC=4，A，B在球面上，AB=2，∠CPA=∠CPB=45°，则棱锥P-ABC的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意知，在棱锥P-ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，取PC的中点D，则PC垂直于面ABD，棱锥P-ABC的体积为两个棱锥P-ABD和C-ABD的体积和，由此能求出棱锥P-ABC的体积．

解答 解：如图所示，由题意知，在棱锥P-ABC中，△PAC，△PBC都是等腰直角三角形，
其中AB=2，PC=4，PA=AC=PB=BC=2$\sqrt{2}$．
取PC的中点D，则PC垂直于面ABD，D是球心，DA=DB=2，
∴棱锥P-ABC的体积为两个棱锥P-ABD和C-ABD的体积和，
S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$•PC•S_△ADB=$\frac{1}{3}$×4×$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．