Question

2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，M，N分别为BC，AB中点．
（I）求证：MN∥平面PAC；
（II）求证：平面PBC⊥平面PAM．

Answer 1

分析 （ I）由M、N分别为BC，AB中点，可得MN∥AC．即可证明MN∥平面PAC．
（ II）只需证明PA⊥BC．MN⊥BC，即可证明BC⊥平面PAM．即平面PBC⊥平面PAM．

解答 证明：（ I）因为M、N分别为BC，AB中点，
所以MN∥AC．
因为MN?平面PAC，AC?平面PAC，
所以MN∥平面PAC．
（ II）因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因为AB=AC=2，M为BC的中点，
所以MN⊥BC．
因为AM∩PA=A，
所以BC⊥平面PAM．
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAM．

点评 本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．