Question

11．已知方程t²+4at+3a+1=0（a＞1）的两根均tanα，tanβ，其中α，β∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）且x=α+β
（1）求tanx的值；
（2）求$\frac{cos2x}{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）sinx}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理求得tanα+tanβ 和tanα•tanβ 的值，再利用两角和的正切公式求得tanx=tan（α+β）的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的式子，可得结果．

解答 解：（1）∵方程t²+4at+3a+1=0（a＞1）的两根均tanα，tanβ，
其中α，β∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）且x=α+β，
∴tanα+tanβ=-4a，tanα•tanβ=3a+1，
∴tanx=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-4a}{1-（3a+1）}$=$\frac{4}{3}$．
（2）$\frac{cos2x}{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）sinx}$=$\frac{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}{\sqrt{2}•（\frac{\sqrt{2}}{2}•cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx）•sinx}$=$\frac{cosx+sinx}{sinx}$
=$\frac{1}{tanx}$+1=$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．