Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在R上的单调区间
（3）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得曲线在x=1处切线的斜率，运用已知切线的方程，可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）求出f（x）的极值和区间[-3，1]处的函数值，比较即可得到所求最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导数为f′（x）=3x²+2ax+b，
曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=3+2a+b，
切点为（1，6+a+b），
由切线方程为y=3x+1，可得3+2a+b=3，6+a+b=4，
解得a=2，b=-4；
（2）函数f（x）=x³+2x²-4x+5的导数为f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2；由f′（x）＜0，可得-2＜x＜$\frac{2}{3}$．
则f（x）的增区间为（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）；减区间为（-2，$\frac{2}{3}$）；
（3）由（2）可得f（x）的两极值点-2，$\frac{2}{3}$，
f（-2）=-8+8+8+5=13，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{27}$+$\frac{8}{9}$-$\frac{8}{3}$+5=$\frac{95}{27}$，
又f（-3）=-27+18+12+5=8，f（1）=1+2-4+5=4．
故y=f（x）在[-3，1]上的最大值为13．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查方程思想的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．