Question

1．函数y=2$\sqrt{3}sinxcosx+8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}$x，
（1）求函数y的最小值及取得最小值时x的集合；
（2）求函数y的对称轴．对称中心；
（3）求函数y的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，利用正弦函数的最值，求得函数y的最小值及取得最小值时x的集合；
（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数y的对称轴．对称中心．
（3）利用正弦函数的单调性，求得函数y的单调增区间．

解答 解：（1）∵函数y=2$\sqrt{3}sinxcosx+8si{n}^{2}x+2co{s}^{2}$x=$\sqrt{3}$sin2x+6•$\frac{1-cos2x}{2}$+2
=$\sqrt{3}$sin2x-3cos2x+5=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+5=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+5，
故当2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值为-2$\sqrt{3}$+5，此时，x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}．
（2）令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函数取的图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函数取的图象的对称中心为（ $\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的最值、单调性以及它的图象的对称性，属于中档题．