Question

12．已知函数f（x）=e^3ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈（-2，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；
（2）根据?x∈（-2，2），e^x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（-2，0）∪（0，2），根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3ae^3ax，∴f′（1）=3ae^3a=e，∴a=$\frac{1}{3}$，
∵g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）为奇函数，∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx．
∵当x∈（-2，2）时，图象C恒在l的上方，∴?x∈（-2，2），e^x＞kx恒成立，
当x=0时，e⁰=1＞0×k显然可以，
记h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（-2，0）∪（0，2），则h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}{e}^{x}$，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），
∴h（x）在（-2，0）上单调减，在（0，1]上单调减，在[1，2）上单调增，
∵$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{{e}^{x}}{x}，x∈（0，2）}\\{k＞\frac{{e}^{x}}{x}，x∈（-2，0）}\end{array}\right.$，x=-2，$\frac{{e}^{x}}{x}$=-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
∴k∈[-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，e），
∵k≠0，∴所求实数k的取值范围是[-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，0）∪（0，e）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想、换元思想，是一道综合题．