Question

7．如图直线y=kx及抛物线y=x-x²
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，求由直线y=kx及抛物线y=x-x²围成的平面图形的面积；
（2）若直线y=kx分抛物线y=x-x²与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求得交点坐标，利用定积分的几何意义，即可求得直线y=$\frac{1}{2}$x及抛物线y=x-x²围成的平面图形的面积；
（2）由题意可知求得抛物线与x轴所围图形的面积S，则抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x′₁=0，x′₂=1-k，即可求得$\frac{S}{2}$=${∫}_{0}^{1-k}$（x-x²-kx）dx，即可求得k的值．

解答 解：（1）当k=$\frac{1}{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴由直线y=$\frac{1}{2}$x及抛物线y=x-x²围成的平面图形的面积S=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$（x-x²-$\frac{1}{2}$x）dx=（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{3}$x³）${丨}_{0}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{48}$，
直线y=$\frac{1}{2}$x及抛物线y=x-x²围成的平面图形的面积$\frac{1}{48}$；
（2）抛物线y=x-x²与x轴两交点的横坐标x₁=0，x₂=1，
∴抛物线与x轴所围图形的面积S=${∫}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x′₁=0，x′₂=1-k，
所以$\frac{S}{2}$=${∫}_{0}^{1-k}$（x-x²-kx）dx=（$\frac{1-k}{2}$x²-$\frac{{x}^{3}}{3}$）=$\frac{1}{6}$（1-k）³．
又S=$\frac{1}{6}$，所以（1-k）³=$\frac{1}{2}$．于是k=1-$\root{3}{\frac{1}{2}}$=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
所以k的值为1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的交点坐标，考查定积分的几何意义，定积分的应用，属于中档题．