Question

19．如图等边三角形ABC所在平面与菱形BCDE所在平面互相垂直，F为AE中点，AB=2，∠CBE=60°．
（1）求证：AC∥平面BDF；
（2）求点C到平面ABE的距离．

Answer 1

分析 （1）连接EC，EC∩BD=O，连接OF，由线线平行证明线面平行；
（2）将体积等价转化，求出体积，再求出底面面积，从而求高，得距离．

解答 （1）证明：连接EC，EC∩BD=O，连接OF，
∵OF为△CAE的中位线，
∴OF∥AC，
∵OF?平面BDF，AC?平面BDF，
∴AC∥平面BDF；
（2）解：取BC的中点M，连接AM，EM，则AM⊥平面BCDE，
由题意，AM=EM=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{6}$，
△ABE中，AB=BE=2，AE=$\sqrt{6}$，S_△ABE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点C到平面ABE的距离为h，则$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
即点C到平面ABE的距离为$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题综合考查了空间中线面的位置关系及距离问题，属于中档题．