Question

14．各项为整数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$（n∈N⁺）．
（1）求a_n；
（2）设数列{a_n+b_n}的首项为1，公比为q的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）分别把n=1和n=n-1代入条件式计算a₁和递推公式，得出{a_n}为等差数列，从而得出通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，再由分组求和，分别运用等差数列和等比数列的求和公式，注意公比为1的情况．

解答 （普班、实验班学生做）
解：（1）由S_n=$\frac{1}{4}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{4}$①得，当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{4}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1+$\frac{1}{4}$②；
由①-②化简得：：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵数列{a_n}各项为正数，
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=2，故数列{a_n}成等差数列，公差为2，又S₁=$\frac{1}{4}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁+$\frac{1}{4}$，
解得a₁=1，a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为q的等比数列，
∴a_n+b_n=q^n-1，
∴b_n=-2n+1+q^n-1，
∴S_n=-n2+（1+q+q²+…+q^n-1）
当q=1时，S_n=-n²+n；
当q≠1时，S_n=-n²+$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．