Question

12．已知首项都是1的两个数列{a_n}，{b_n}$（{{b_n}≠0，n∈{N^*}}）$满足a_nb_n+1-a_n+1b_n-2a_n+1a_n=0．
（1）令${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求证数列{c_n}为等差数列；
（2）若${a_n}={3^{n-1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_nb_n+1-a_n+1b_n-2b_n+1b_n=0，c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，可得数列{c_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c_n}的通项公式；
（2）用错位相减法来求和．

解答 解：（1）∵a_nb_n+1-a_n+1b_n-2a_n+1a_n=0，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{b_n}{a_n}=2$．
∵c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴c_n+1-c_n=2，
∵首项是1的两个数列{a_n}，{b_n}，
∴数列{c_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴c_n=2n-1；
（2）∵b_n=3^n-1，c_n═$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，
∴a_n=（2n-1）•3^n-1，
∴S_n=1×3⁰+3×3¹+…+（2n-1）×3^n-1，
∴3S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ，
∴-2S_n=1+2•（3¹+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ，
∴S_n=（n-1）3ⁿ+1

点评 本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．