Question

7．已知{f_n（x）}满足${f_1}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}（x＞0）$，f_n+1（x）=f₁（f_n（x））．
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表达式；
（2）用数学归纳法证明对f_n（x）的猜想．

Answer 1

分析 （1）依题意，计算f₂（x）=f₁[f₁（x）]可求得f₂（x），同理可求f₃（x），可猜想想：${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）${f_2}（x）={f_1}[{f_1}（x）]=\frac{{{f_1}（x）}}{{\sqrt{1+{f_1}^2（x）}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+2{x^2}}}}$，
${f_3}（x）={f_1}[{f_2}（x）]=\frac{{{f_2}（x）}}{{\sqrt{1+{f_2}^2（x）}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+3{x^2}}}}$
猜想：${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
（2）下面用数学归纳法证明${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$，（n∈N^*）
①当n=1时，${f_1}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+{x^2}}}}$，显然成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即${f_k}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}$，
则当n=k+1时，${f_{k+1}}（x）={f_1}[{f_k}（x）]=\frac{{\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}}}{{\sqrt{1+{{（\frac{x}{{\sqrt{1+k{x^2}}}}）}^2}}}}=\frac{x}{{\sqrt{1+（k+1）{x^2}}}}$
即对n=k+1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想${f_n}（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+n{x^2}}}}$对一切n∈N^*都成立．

点评 本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法的应用，突出考查推理证明的能力，属于中档题．