Question

19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y≥3\\ x+2y≥6\\ x≤8\end{array}\right.$，则$\frac{y}{x}$的取值范围为$[{-\frac{1}{8}，\frac{5}{8}}]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
$\frac{y}{x}$的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知OC的斜率最小，OB的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=3}\\{x=8}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=5}\end{array}\right.$，即B（8，5），
此时OB斜率k=$\frac{5}{8}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{x+2y=6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（8，-1），
此时OC斜率k=-$\frac{1}{8}$，
则$\frac{y}{x}$的取值范围为$[{-\frac{1}{8}，\frac{5}{8}}]$，
故答案为：$[{-\frac{1}{8}，\frac{5}{8}}]$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．