Question

14．小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排，若小一不出现在首位和末位，小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻，求能满足条件的不同排法共有多少种？

Answer 1

分析 根据题意，按小一的位置分三类：①当小一出现在第2位时，则第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学，②当小一出现在第3位时，则第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学或第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学，③当小一出现在第4位时，则第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，按小一的位置分三类：
①当小一出现在第2位时，
则第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学，在三人中任取1人，放在第1位，
将剩余2人看成一个整体，与小快全排列，
所以满足条件的排法数目有$C_3^1A_2^2A_2^2=12$种；
②当小一出现在第3位时，
若第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学，在三人中取出2个，安排在第1位、第2位，再将剩下的1人全小快全排列，有A₃³A₂²种排法；
若第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学，同理可得此时有A₃³A₂²种排法；
所以满足条件的排法数目有$2A_3^2A_2^2=24$种；
③当小一出现在第4位时，则第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学，
所以满足条件的排法数目有$C_3^1A_2^2A_2^2=12$种；
综上，共有12+24+12=48种排法．

点评 本题考查排列、组合的应用，关键是依据题意，按照小一的位置进行分类讨论．