Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$成立．
（1）记b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求证：数列{c_n}的前n项和T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b_n=2n+1，
（2）根据裂项求和和放缩法即可得到答案．

解答 解：（1）在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中令n=1得a₁=8，
因为对任意正整数n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$成立，所以a_n+1=$\frac{3}{4}$S_n+1+2，
两式相减得a_n+1-a_n=$\frac{3}{4}$a_n+1，
所以a_n+1=4a_n，
又a₁≠0，
所以数列{a_n}为等比数列，
所以a_n=8•4^n-1=2²ⁿ⁺¹，
所以b_n=log₂a_n=2n+1，
（2）${c_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{{3（{2n+3}）}}$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项求和以及放缩法，属于中档题．