Question

15．已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x³与$y={x^{\frac{1}{2}}}$围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为$\frac{5}{48}$．

Answer 1

分析 本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x³和曲线y=$\sqrt{x}$两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．

解答 解：联立得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y={x}^{\frac{1}{2}}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，
设曲线与曲线围成的面积为S，
则S=∫₀¹（$\sqrt{x}$-x³）dx=（$\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{4}$x⁴）|${\;}_{0}^{1}$═$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$，
而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，
∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{S}$=$\frac{\frac{5}{12}}{2×2}$=$\frac{5}{48}$，
故答案为：$\frac{5}{48}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分公式求出阴影部分的面积是解决本题的关键．