Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2asinB-$\sqrt{5}$bcosA=0．
（1）求cosA；
（2）若a=$\sqrt{5}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0确定出tanA的值，进而求出cosA的值；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用正弦定理求出sinB的值，进而求出cosB的值，确定出sinA=cosB，cosA=sinB，即C为直角，确定出三角形面积即可．

解答 解：（1）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，
将等式2asinB-$\sqrt{5}$bcosA=0，利用正弦定理化简得：2sinAsinB-$\sqrt{5}$sinBcosA=0，
∵sinB≠0，∴2sinA-$\sqrt{5}$cosA=0，即tanA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∵cosA=$\frac{2}{3}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵a=$\sqrt{5}$，b=2，
∴由正弦定理得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinA=cosB，cosA=sinB，即A+B=C=$\frac{π}{2}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2=$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．