Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+ax+1$，且曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线斜率为-3．
（1）求f（x）单调区间；
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（0）=-3，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2x+a，由f′（0）=-3，解得：a=-3，
故f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+1，f′（x）=（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由（1）知f（x）_极大值=f（-3）=10，
f（x）_极小值=f（1）=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．