Question

4．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么（　　）

• A． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$与 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$不能比较大小

Answer 1

分析 求出向量的夹角，计算出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$即可得出答案．

解答 解：△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}=0$．
取BD的中点F，连接AF，EF，
设三棱锥的棱长为1，则AE=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×1×（-\frac{\sqrt{3}}{3}）$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$．
故选C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．