Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=5，则球O的表面积为（　　）

• A． 50π
• B． 100π
• C． 200π
• D． $\frac{{125\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．

解答 解：由题意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为$\frac{1}{2}\sqrt{9+16+25}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是4πR²=4×$\frac{50}{4}$π=50π．
故选A．

点评 本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，关键是由组合体的位置关系得到球的半径，考查学生空间想象能力，是基础题．