Question

17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc．
（1）若tanB=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，求$\frac{b}{a}$；
（2）若B=$\frac{2π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，求BC边上的中线长．

Answer 1

分析 （1）求出sinA，sinB，利用$\frac{b}{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$，得出结论；
（2）求出BC，利用余弦定理可得结论．

解答 解：（1）由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵tanB=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{30}}{30}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$；
（2）B=$\frac{2π}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{6}$，∴BC=2，
∴BC边上的中线长=$\sqrt{1+12-2×1×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．