Question

2．已知点A是抛物线x²=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且当PA与抛物线相切时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 设直线AP的方程，代入抛物线方程，由△=0，求得切线方程，求得P点坐标，根据双曲线的定义，即可求得a的值，c=1，根据双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：过P作准线的垂线，垂足为N，由直线PA与抛物线相切，
设直线AP的方程为y=kx-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{y}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，
∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为丨PA丨-丨PB丨=2（$\sqrt{2}$-1），则a=$\sqrt{2}$-1，c=1，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}$+1，
则双曲线的离心率$\sqrt{2}$+1，
故选C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，考查数形结合思想，属于中档题．