Question

11．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2ax-alnx$对区间（1，2）上任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜0$，则a的取值范围为（　　）

• A． $（{\frac{4}{5}，+∞}）$
• B． $[{\frac{4}{5}，+∞}）$
• C． $[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• D． （-∞，1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，即x²-2ax-a≤0成立，令g（x）=x²-2ax-a，得到关于a的不等式组，即可得出结论．

解答 解：f′（x）=x-2a-$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，
即x-2a-$\frac{a}{x}$≤0，在x∈（1，2）上恒成立，
即x²-2ax-a≤0，
令g（x）=x²-2ax-a，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{1-3a≤0}\\{4-5a≤0}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{4}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查学生利用导数研究函数的单调性知识及转化划归思想的运用能力，属中档题．