Question

20．已知函数f（x）=e^x-x+1
（1）求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．
（2）求函数y=f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），f（2）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-1，
故f′（2）=e²-1，f（2）=e²-1，
故切线方程是：y-（e²-1）=（e²-1）（x-2），
即：（e²-1）x-y-e²+1=0；
（2））∵f′（x）=e^x-1，令f′（x）=0，
∴e^x-1=0，解得：x=0，
∴f（x）=e^x-x的单调减区间是（-∞，0），增区间是[0，+∞）；
故f（x）在[-2，0]上单调递减，在[0，1]单调递增
∴f（x）在x=0处取得极小值，f（0）=2，
而f（-2）=e^-2+3＞f（1）=e，
f（x）在x=-2处取到最大值，
∴f（x）的最大值e^-2+3，最小值2．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，求函数的极值问题，属于中档题．