Question

15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中b=-20，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，根据回归直线方程过样本中心点求出a的值，写出回归直线方程；
（2）设工厂获得的利润为L元，利用回归直线方程写出L的利润函数，求出最大值即可．

解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（90+84+83+80+75+68）=80，
且回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a中b=-20，
∴a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=80-（-20）×8.5=250，
∴回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
（2）设工厂获得的利润为L元，且回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250；
∴L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x²+330x-1000=-20${（x-\frac{33}{4}）}^{2}$+361.25，
当且仅当x=$\frac{33}{4}$=8.25时，L取得最大值，
即当单价定为8.25元时，工厂获得利润最大．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．