Question

10．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{2}$ax²-ln（1+x），其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合题意求出a的范围即可．

解答 解：（1）①当a=0时，f′（x）=$\frac{x}{1+x}$，
故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，f'（x）=1-ax-$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x（1-a-ax）}{1+x}$，
令f'（x）=0，得x₁=0，或x₂=$\frac{1}{a}$-1，
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（0，$\frac{1}{a}$-1）；单调减区间是（-1，0）和（$\frac{1}{a}$-1，+∞）．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（$\frac{1}{a}$-1，0）；单调减区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1）和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
（2）由（1）知a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．
当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（$\frac{1}{a}$-1），
由f（$\frac{1}{a}$-1）＞f（0）=0，知不合题意，
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意，
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．属于中档题．