Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），-$\frac{π}{2}$＜θ$＜\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求tanθ的值．
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$时$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，利用同角的三角函数关系求出tanθ的值；
（II）利用平面向量的坐标运算与数量积运算，求出${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$的最大值，即可得出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值．

解答 解：（I）由题$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow{b}$，所以$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=sinθ+cosθ=0，
从而tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-1；
（II）因$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$=（sinθ+1，1+cosθ），
所以${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=（sinθ+1）²+（1+cosθ）²
=3+2（sinθ+cosθ）
=3+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
因为-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以-$\frac{π}{4}$＜θ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
从而θ=$\frac{π}{4}$时，${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=3+2$\sqrt{2}$=${（1+\sqrt{2}）}^{2}$为最大值，
所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值是1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，也考查了三角函数的运算问题，是综合题．