Question

6．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
（1）求a并估计这次考试中该学科的中位数、平均值；
（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组…第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差不小于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，如：[40，50），[70，80）这两组分数之差为30分），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．

Answer 1

分析 （1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；由已知得中位数在[70，80）内，设中位数为x，由中位数要平分直方图的面积能求出结果；60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．
（2）选出的两组为“最佳组合”的概所有的组合数有15个，其中，“最佳组合”有6个，由此求得选出的两组为“最佳组合”的概率．

解答 解：（1）因为各组的频率和等于1，
故第四组的频率：
f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，∴a=0.03，
成绩在[40，70）的频率为：（0.01+0.015+0.015）×10=0.4，
成绩在[40，80）的频率为：0.4+0.03×10=0.7，
∴中位数在[70，80）内，
设中位数为x，
∵中位数要平分直方图的面积，
∴x=70+$\frac{0.5-0.4}{0.03}$=$\frac{220}{3}$分，
依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75
所以，抽样学生成绩的合格率是75%，
利用组中值估算抽样学生的平均分为：
45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
估计这次考试的平均分是71分，
（2）记选出的两组为“最佳组合”为事件A．
从六组中任选两组的基本事件是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，$P（A）=\frac{2}{5}$
所以，选出的两组为“最佳组合”的概率为$\frac{2}{5}$

点评 本题考查古典概型问题，频率分步直方图的应用，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．