Question

4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，则向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角的余弦值，可得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1．
再根据（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，可得${\overrightarrow{b}}^{2}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•$\sqrt{2}$•cosθ=-1，∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=$\frac{3π}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．