Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，$AB=\frac{1}{2}AD$，PA⊥面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB=$\frac{1}{2}AD=2$，求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥PA，AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC．
（2）推导出PA⊥面ABCD，由V_P-AEC=V_D-AEC=V_E-ADC，能求出三棱锥P-AEC的体积．

解答 证明：（1）因为PA⊥面ABCD，又AB?平面ABCD，
所以AB⊥PA，
又因为∠ABC=∠ADC=60°，$AB=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
在△ABC中，由余弦定理有：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=BC²-AB²
所以AB²+AC²=BC²，
即：AB⊥AC，
又因为PA∩AC=A，又PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，所以AB⊥PC．
解：（2）由已知有：$PA=AB=\frac{1}{2}AD=2$，
所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD
且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为$\frac{1}{2}PA=1$，
所以三棱锥P-AEC的体积：
V_P-AEC=V_D-AEC=V_E-ADC=$\frac{1}{3}{S_{△ADC}}\frac{1}{2}PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4$×$sin60°×1=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．