Question

15．下列命题中，真命题的个数为（　　）
①若a，b，c∈R则“a＞b”是“ac²＞bc²”成立的充分不必要条件；
②若椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的两个焦点为F₁，F₂，且弦AB过点F₁，则△ABF₂的周长为20．
③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
④若命题p：?x∈R，x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x²+x+1≥0．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①当a=0时，“ac²=bc²”，充分性不成立，可判断①错误；
②由椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1知长轴长为10，依题意，利用椭圆的定义可求得△ABF₂的周长为20，可判断②正确；
③由命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，可知p假q真，可判断③正确；
④写出命题p的否定￢p：?x∈R，x²+x+1≥0，可判断④正确．

解答 解：对于①，若a，b，c∈R则“a＞b”不能推出“ac²＞bc²”，如c=0时就不成立，即充分性不成立，故①错误；
对于②，椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1的两个焦点为F₁，F₂，则长轴长为10，又弦AB过点F₁，则△ABF₂的周长l=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=20，故②正确；
对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题，故③正确；
对于④，若命题p：?x∈R，x²+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x²+x+1≥0，故④正确．
综上所述，真命题的有个数为3个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的转化、充分必要条件的判断、命题及其否定及椭圆的定义的应用，属于基础题．