Question

19．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点B（3，0）且斜率大于0的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，求|BM|+|BN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由椭圆的离心率可得a²=2b²，又由椭圆E过点A（2，1），则$\frac{4}{{2{b^2}}}+\frac{1}{b^2}=1⇒{b^2}=3$，即可得a²、b²的值，将其代入椭圆方程即可得答案；
（2）设直线l的方程为x=my+3，以及P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由P、Q的坐标可得直线AP、AQ的方程，结合题意可得M、N的坐标，联立直线l与椭圆的方程，整理可得（2+m²）y²+6my+3=0，利用根与系数的关系表示|BM|+|BN|的值，化简整理可得答案．

解答 解：（1）根据题意，椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2c²⇒a²=2b²，
又由椭圆E过点A（2，1），则$\frac{4}{{2{b^2}}}+\frac{1}{b^2}=1⇒{b^2}=3$，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设直线l的方程为x=my+3，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线AP的方程为$y-1=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}（x-2）$，可得$M（\frac{{2{y_1}-{x_1}}}{{{y_1}-1}}，0）$，即$M（\frac{{（2-m）{y_1}-3}}{{{y_1}-1}}，0）$，
直线AQ的方程为$y-1=\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-2}}（x-2）$，可得$N（\frac{{2{y_2}-{x_2}}}{{{y_2}-1}}，0）$，即$N（\frac{{（2-m）{y_2}-3}}{{{y_2}-1}}，0）$．
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+3}\\{{x^2}+2{y^2}=6}\end{array}}\right.$，消去x，整理得（2+m²）y²+6my+3=0．
由△=36m²-12（2+m²）＞0，可得m²＞1，
${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{2+{m^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{3}{{2+{m^2}}}$，
|BM|+|BN|=$3-\frac{{（2-m）{y_1}-3}}{{{y_1}-1}}+3-\frac{{（2-m）{y_2}-3}}{{{y_2}-1}}$=$6-\frac{{（2-m）{y_1}-3}}{{{y_1}-1}}-\frac{{（2-m）{y_2}-3}}{{{y_2}-1}}$，
=6-$\frac{（4-2m）{y}_{1}{y}_{2}+（m-5）（{y}_{1}+{y}_{2}）+6}{{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=6-$\frac{24（m+1）}{{m}^{2}+6m+5}$=6-$\frac{24}{m+5}$；
因为m＞0，m²＞1，所以m＞1，
因此$0＜\frac{24}{m+5}＜4$，即$2＜6-\frac{24}{m+5}＜6$，
∴|BM|+|BN|的取值范围是（2，6）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是先依据题意，求出椭圆的标准方程．