Question

3．对于函数f（x），若在定义域x内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．p：f（x）=m+2^x为定义在[-1，1]上的“局部奇函数”；q：曲线g（x）=x²+（5m+1）x+1与x轴交于不同的两点；若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：若p为真，则由f（x）=m+2^x为定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，
则f（-x）+f（x）=0有解，即2m+2^x+2^-x=0，
则-2m=2^x+2^-x，
设t=2^x，则t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
则g（t）=t+$\frac{1}{t}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上递减，在[1，2]，上递增，
则g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]，
则-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，得-$\frac{5}{4}$≤m≤-1，
若q为真，则判别式△=（5m+1）²-4＞0，
得m＞$\frac{1}{5}$或m＜$-\frac{3}{5}$，
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q一个为真命题一个为假命题，
若p真q假，则$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{5}{4}≤m≤-1}\\{-\frac{3}{5}≤m≤\frac{1}{5}}\end{array}}\right.$，得无交集          
若p假q真，则$\left\{{\begin{array}{l}{m＞-1或m＜-\frac{5}{4}}\\{m＞\frac{1}{5}或m＜-\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$，得$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$
综上知m的取值范围为$m＜-\frac{5}{4}$或$-1＜m＜-\frac{3}{5}$或$m＞\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．