Question

13．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为（　　）

• A． f（x）=2+|x+1|
• B． f（x）=2-x
• C． f（x）=3-|x+1|
• D． f（x）=2x+4

Answer 1

分析 ①当x∈[-2，-1]时，则x+4∈[2，3]，由题意可得：f（x+4）=x+4．再根据函数的周期性可得f（x）=f（x+4）=x+4．②当x∈[-1，0]时，则2-x∈[2，3]，由题意可得：f（2-x）=2-x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．

解答 解：①当x∈[-2，-1]时，则x+4∈[2，3]，
因为当x∈[2，3]时，f（x）=x，
所以f（x+4）=x+4．
又因为f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（x）=f（x+4）=x+4．
所以当x∈[-2，-1]时，f（x）=x+4．
②当x∈[-1，0]时，则2-x∈[2，3]，
因为当x∈[2，3]时，f（x）=x，
所以f（2-x）=2-x．
又因为f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（-x）=f（2-x）=2-x．
因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，
所以f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x．
所以由①②可得当x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|．
故选：C．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行转化是解决本题的关键．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．