Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）过点$（{-1，\frac{3}{2}}）$，且离心率为$\frac{1}{2}$，过点P（1，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆的C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，且$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OR}$，求△MNR面积的最大值以及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将点代入椭圆方程，利用椭圆的离心率公式，及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由|PR|=2．设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，根据函数的单调性即可求得△MNR面积的最大值及m的值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，将$（{-1，\frac{3}{2}}）$代入椭圆方程：$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，①
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，②，
a²=b²+c²，③
解得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）因为$\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{OR}$，则O为PR的中点，则|PR|=2．
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$．
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）²+36（3m²+4）＞0，m∈R．
则${S_{△MNR}}=\frac{1}{2}|{PR}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=|y₁-y₂|=$\sqrt{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，${S_{MNR}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$，
令$f（t）=3t+\frac{1}{t}$，则函数f（t）在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$上单调递增，
故当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有f（t）≥f（1）=4，
∴S_△MNR≤3，
故△MNR面积的最大值为3，此时直线l的方程为x=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查函数单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．